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✨ #Gödel, #Escher, #Bach: um #entrelaçamento de #Gênios #Brilhantes (geralmente chamado #GEB)

⚡Eros Lima
⚡Eros Lima

Como eu realmente aprendo ciência da computação e engenharia de software?


Não sei se é bem livro para programadores, mas tu me inspirou então te indico (não da para ler rápido):







GEB é um livro vencedor do Prémio Pulitzer escrito pelo acadêmicoestadunidenseDouglas Hofstadter. Foi publicado em 1979 pela Basic Books. Hofstadter escreveu um novo prefácio para a edição dos vinte anos em 1999 (ISBN 0465026567), edição esta que foi a base para a tradução para Português em 2001 por José Viegas Filho (ISBN 8523005781).




Poder-se-ia pensar que o título diz tudo: um livro sobre um matemático, um artista e um músico. Mas um olhar mais casual mostra que estes três indivíduos, per se, apenas desempenham funções minúsculas no conteúdo do livro. O livro não é, de modo algum, sobre eles.



GEB é um livro difícil de caracterizar porque foca muitos e heterogéneos tópicos e é quase impossível localizar o núcleo central. Entre outros GEB fala de fugas e cânones, lógica e verdade, geometria, recorrência, estruturas sintácticas, a natureza do significado, budismo zen, paradoxos, cérebro e mente, reducionismo e holismo, colónias de formigas, conceitos e representações mentais, tradução, computadores e suas linguagens, ADN, proteínas, o código genético, inteligência artificial, criatividade, consciência e livre arbítrio, arte, música, etc.


https://pt.wikipedia.org/wiki/Gödel,_Escher,_Bach








Começando com o Melhor:



GEB abre com a história da oferta musical de Bach. Bach fez uma visita improvisada ao rei Frederico, o Grande, da Prússia, e foi solicitado a improvisar sobre um tema apresentado pelo rei. Suas improvisações formaram a base desse grande trabalho.



Auto-referência e sua interação entre os diferentes níveis de Bach são discutidos; isso leva a uma discussão de ideias paralelas nos desenhos de Escher e, em seguida, no Teorema de Gödel.




Antes de prosseguir, vamos definir alguns termos:


Um cânone é uma peça musical em que um único tema é repetido e "tocado contra si mesmo". O Prof. Hofstadter nos dá várias maneiras em que um cânone pode ter complexidade:


   Uma cópia do tema é reproduzida em um determinado período depois.

   O tema é escalonado no tempo e no tom.

   O tema é reproduzido em velocidades diferentes.

   O tema está invertido.

   O tema é reproduzido ao contrário.



Uma fuga é um cânone com mais flexibilidade e oportunidade de expressão criativa.


Neste capítulo, encontramos pela primeira vez os conceitos de Strange Loops e Tangled Hierarchies.


Um laço estranho é uma estrutura cíclica que atravessa várias camadas de um sistema hierárquico para se encontrar de volta ao início. Uma camada está contida dentro de outra para permitir um estranho cruzamento desses níveis, de modo que a camada superior de repente apareça embutida na inferior. É por isso que Hofstadter escolheu Escher como a ilustração perfeita da ideia de um laço estranho.




O termo Hierarquia Tangled é freqüentemente usado para descrever um sistema no qual ocorre um Strange Loop.





Existem exemplos interessantes de loops estranhos no som. Uma ilusão chamada tom de Shepard consiste em notas que parecem ficar cada vez mais altas, mas nunca parecem ir além das frequências audíveis. O som é repetido, mas as frequências são habilmente escolhidas para dar uma ilusão de que o tom está continuamente subindo. Bach usa uma ideia semelhante em uma variação de The Musical Offer. O tema parece se repetir, subindo uma nota mais alto a cada vez que é tocado. No entanto, em certo ponto, o tema atinge a oitava e a peça soa como se estivesse começando de novo.














“Neste cânone [Musical Offer], Bach nos deu nosso primeiro exemplo da noção de Strange Loops. O fenômeno “Strange Loop” ocorre sempre que, ao nos movermos para cima (ou para baixo) através dos níveis de algum sistema hierárquico, inesperadamente nos encontramos de volta ao ponto de partida. ”


Da mesma forma, usando imagens de Escher, começamos a ter uma visão sobre o que é a verdadeira estrutura do pensamento e da existência.



   “Implícito no conceito de Strange Loops está o conceito de infinito, pois o que mais é um loop senão uma forma de representar um processo infinito de forma finita? ... Em alguns de seus desenhos, um único tema pode aparecer em diferentes níveis de realidade ... Mas a mera presença desses dois níveis convida o espectador a se ver como parte de outro nível e, ao dar esse passo, o espectador não pode deixar de ser pego na cadeia implícita de níveis de Escher, na qual, para qualquer nível , sempre há um outro nível acima de “realidade” maior e da mesma forma, há sempre um nível abaixo, “mais imaginário” do que é. Isso pode ser estonteante por si só. No entanto, o que acontece se a cadeia de níveis não for linear, mas formar um loop? O que é real, então, e o que é fantasia? A genialidade de Escher foi que ele não só podia inventar, mas realmente retratar dezenas de mundos meio reais, meio míticos, mundos cheios de Strange Loops, nos quais ele parece estar convidando seus espectadores a entrar. ”




Se pensarmos na imagem de Escher dos monges escalando um quadrilátero de quadrados que parecem continuar subindo e, no entanto, em um círculo completo, os monges pisam na escada de onde começaram. Isso é confuso porque não podemos descobrir qual é a camada primária.





✨Gödel, Escher, Bach: um entrelaçamento de Gênios Brilhantes (geralmente chamado GEB




Artigos mais Top (Fontes):


https://medium.com/swlh/g%C3%B6del-escher-bach-series-an-overview-of-g%C3%B6dels-incompleteness-theorem-d00c2202abf4


https://medium.com/@spencerbaum/a-group-reading-of-godel-escher-bach-13b509632538







Aulas sobre GEB do MIT desde 2012


1- https://www.youtube.com/watch?v=lWZ2Bz0tS-s

2- https://www.youtube.com/watch?v=HqmUuHnvJ98

3- https://www.youtube.com/watch?v=HqmUuHnvJ98

4- https://www.youtube.com/watch?v=KbTrDBmXX1U

5- https://www.youtube.com/watch?v=PBDQL7hp7gk

6- https://www.youtube.com/watch?v=ko6kkJ7Li5Q














Esta é a parte 1 de uma minissérie em que pretendemos abordar os principais temas de “Gödel Escher Bach: An Eternal Golden Braid” de Douglas Hofstadter. A primeira parte se concentrará no tópico principal do livro e como ele se relaciona com o Teorema da Incompletude de Gödel, além de dar uma visão sobre a relação com as imagens de Escher e as ofertas musicais de Bach.




Publicado em 1979, o que o professor Hofstadter está tentando responder em seu livro é uma questão primária: como os seres animados podem sair da matéria inanimada. O que é representado por um “eu” e como um eu pode sair de coisas que não têm eu? Como é que esses grupos de elementos de oxigênio, carbono, hidrogênio e nitrogênio deixam de ter sentido e se desenvolvem em uma entidade que está ciente de sua própria existência?







Aproximação


A abordagem que GEB adota para responder a essas perguntas é fazer uma analogia que correlaciona moléculas a símbolos sem sentido e eus a certos padrões significativos que surgem apenas em determinados tipos de sistemas de símbolos sem sentido. O livro concentra-se principalmente na investigação dos padrões que o prof. Hofstadter chama em seu livro de “loops estranhos”.




“GEB é, em essência, uma longa proposta de loops estranhos como uma metáfora de como a individualidade se origina.”




Um desses loops é o estranho loop de Gödel com base no famoso "teorema da incompletude" de Gödel, que surge em sistemas formais em matemática e que permite que tal sistema se discernir ... se tornar "autoconsciente".





Voltando ao nosso "eu" anterior, sabemos que o crânio é um "objeto puramente físico feito de componentes completamente estéreis e inanimados, todos os quais obedecem exatamente às mesmas leis que governam todo o resto do universo." A chave não está na matéria inanimada, os átomos dos quais o cérebro é feito, mas nos padrões que existem dentro do cérebro.








Teoremas da Incompletude de Gödel


Vamos primeiro tirar o vocabulário do caminho, explicando os termos que usaremos:


   Um sistema formal é usado para inferir teoremas de axiomas de acordo com um conjunto de regras. Essas regras usadas para realizar a inferência de teoremas de axiomas são conhecidas como o cálculo lógico do sistema formal. Um sistema formal é essencialmente um “sistema axiomático”. (Em 1921, David Hilbert propôs usar esse sistema como a base para o conhecimento em matemática.)




   Um conjunto de axiomas é (sintaticamente) completo se, para qualquer afirmação na linguagem dos axiomas, essa afirmação ou sua negação for demonstrável a partir dos axiomas.



   Um conjunto de axiomas é (simplesmente) consistente se não houver nenhuma afirmação de forma que tanto a afirmação quanto sua negação sejam prováveis ​​a partir dos axiomas.




Os teoremas da incompletude de Gödel demonstram as limitações de todo sistema axiomático formal capaz de modelar a aritmética básica, afirmando que existem algumas afirmações verdadeiras que não podem ser provadas. Ele prova isso fazendo uso de afirmações matemáticas paradoxais, mas construindo-as de uma maneira muito inteligente.




O primeiro teorema se relaciona a dois conceitos: consistência e probabilidade. Um sistema matemático (um conjunto de suposições chamadas axiomas) é consistente se não houver contradições, o que significa que você não pode provar que uma afirmação é verdadeira e falsa.




O primeiro teorema da incompletude de Gödel (apareceu pela primeira vez no artigo de Gödel de 1931 "On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I") diz que se você tiver um sistema matemático consistente (ou seja, um conjunto de axiomas sem contradições) no qual você pode fazer uma certa quantidade de aritmética, então há declarações nesse sistema que são improváveis ​​usando apenas os axiomas desse sistema.





Primeiro Teorema da Incompletude: “Qualquer sistema formal consistente Ƒ dentro do qual uma certa quantidade de aritmética elementar pode ser realizada é incompleto; ou seja, há declarações da linguagem de Ƒ que não podem ser provadas nem refutadas em Ƒ. ” (Raatikainen 2015)


O segundo teorema da incompletude, uma extensão do primeiro, mostra que o sistema não pode demonstrar sua própria consistência.



   Segundo Teorema da Incompletude: “Suponha que Ƒ seja um sistema formalizado consistente que contém aritmética elementar. Então Ƒ não ⊢ Cons (Ƒ). ” (Raatikainen 2015)




Para obter uma melhor compreensão, podemos começar considerando o paradoxo do mentiroso: "Esta afirmação é falsa." Esta afirmação é verdadeira se e somente se for falsa e, portanto, não é nem verdadeira nem falsa. Agora vamos considerar a seguinte afirmação: “Esta afirmação é improvável.” Se for provável, então estamos provando uma falsidade, o que geralmente é considerado impossível. A única alternativa que resta é que essa afirmação é improvável. Portanto, é de fato verdadeiro e improvável. Nosso sistema de raciocínio está incompleto, porque algumas verdades são improváveis.




A prova de Gödel atribui a cada afirmação matemática possível um assim chamado número de Gödel (conhecido como codificação de Gödel). Por exemplo, se atribuirmos “a” a 1, “b” a 2 e assim por diante, a palavra “matemática” seria atribuída a “13–1–20–8”. De maneira semelhante, você pode pensar em como os computadores armazenam informações em “0” se “1” s.





O que vamos mostrar não é uma apresentação da prova escrita por Gödel. Apresentaremos todas as idéias básicas necessárias para entender o que o teorema afirma e o que precisaríamos para escrever a prova.


Suponha que recebamos um sistema formal Ƒ (onde todo sistema formal é efetivamente axiomatizado por definição) capaz de raciocinar sobre aritmética elementar. Então, como Gödel mostrou, é possível construir uma sentença G que diga “Não sou demonstrável em Ƒ”. Depois de construir essa frase, ele simplesmente perguntou: G é decidido em Ƒ? (pode G ser provado ou refutado em Ƒ)









Resources (+fontes):


   MIT Godel Escher Bach Lecture 1

   Gödel’s Incompleteness Theorem — Numberphile

   Limits of Logic: The Gödel Legacy

   “Incompleteness Ex Machina”, Sebastian Oberhof, December 31, 2018

   Gödel, Escher, Bach: A Mental Space Odyssey: MIT Lectures Notes

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